Pengantar Ilmu Komputer: representasi bilangan

Ada empat sistem bilangan yang dipakai dalam dunia digital yaitu sistem bilangan desimal, bilangan biner,bilangan oktal, dan bilangan heksa.berikut penjelasan masing-masing sistem bilangan.

1. bilangan desimal, bilangan berbasis 10 yang memiliki simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9.
2. bilangan biner, bilangan berbasis 2 dengan simbol 0 dan 1.
3. bilangan oktal, bilangan berbaisi 8 dengan simbol 1,2,3,4,5,6,7 dan 8.
4. bilangan heksa, bilangan berbasis 16 yang terdiri dari 10 bilangan dan ditambah 5 simbol angka. daret simbol dalam bilangan heksa adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F. A=10, B=11, C=12, D=13 E=14, dan F=15.

berikut ini saya jalaskan cara merubah suatu bilangan ke bilangan yang lain .
contoh konversi bilangan :

1. Konversi dari bilangan Desimal ke biner

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian diambil sisa pembagiannya.

Contoh :

45 (10) = …..(2)

45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 = 5 + sisa 1

5 : 2 = 2 + sisa 1

2 : 2 = 1 + sisa 0 101101(2) ditulis dari bawah ke atas

2 koversi dari biner ke desimal :

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

Contoh :

1 0 0 1

1 x 2 ⁰ = 1

0 x 2 ¹ = 0

0 x 2 ²= 0

1 x 2 ³= 8

10 ₍₁₀₎

3. Konversi bilangan Desimal ke Oktal
Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil sisa pembagiannya

Contoh :

385 ( 10 ) = ….(8)

385 : 8 = 48 + sisa 1

48 : 8 = 6 + sisa 0

601 (8)

4. konversi dari oktal ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

12(8) = .............(10)

2 x 8 ⁰ = 2

1 x 8 ¹ =8

jadi bilangan desimalnya 10(10)

5. Konversi bilangan Desimal ke Heksa

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian diambil sisa pembagiannya

Contoh :

1583 ( 10 ) = ….(16)

1583 : 16 = 98 + sisa 15

96 : 16 = 6 + sisa 2

62F (16)
6. koversi bilangan heksa ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.

C7(16) = ...................(10)

7 x 16 ⁰ = 7

C x 16 ^{1 = 192}

¹⁹⁹

^{jadi bilangan desimalnya adalah 199(10)}

^{7. konversi dari biner ke oktal :}

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.;

Contoh : 11010100(2) = ........................(8)

11 010 100

3 2 4 jadi bilangan oktalnya adalah 324(8)

8. konversi dari oktal ke biner

324(8) = ........(2)

4 = 100

2 = 010

3 = 11 jadi bilangan binernya adalah 11010100 (2)

9. konversi dari oktal ke heksa
   472(8) = ................. (16)
   diubah dulu ke dalam bentuk biner setelah itu baru diubah ke heksa :
4 = 100
7 = 111
2 = 010 jadi bilangan binernya adalah 100111010(2)
untuk merubah kedalam bentu bilangan heksa kita mengkonversikan tiap-tiap empat(4) buah digit biner, seperti contoh ini :   100111010
1010 = 10 = A
0011 = 3
   1    = 1

jadi bilangan heksanya adalah 13A(16)

oprasi Aritmatika pada bilangan biner.

1. penjumalahan
dasar penjumlahkan pada bilangan biner adalah :

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1 + 1 = 0 ( Hasil 0 Simpan 1 )

contoh :

1 1 1 1 1 1

111101111

110001101 +

1101111100

2. pengurangan

dasar pengurangan pada bilangan biner:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1= 0

0 - 1 = 1 pinjam 1

contoh :

1110001

100101 _

1001100

Konversi bilangan pecahan ke biner

contoh

# bilangan pecahan desimal ke biner :

0,625(10) ..............(2)

caranya : kalikan bilangan pecahan desimal dengan 2. simpan satu bilangan sebelum koma dan kalikan bilangan di belakang koma dengan 2 begitu seterusnya sampai hasil kalinya 0 atau sama dengan hasil kali sebelumnya .

0,625 x 2 = 1,25-------------> 1

0,25 x 2 = 0,5 -------------> 0

0,5 x 2 = 1

jadi bilangan binernya adalah 0,101 di hitung dari atas ke bawah

# perubahan dari bilangan pecahan biner ke desimal

contoh

0,01101 (2) ....................(10)

pada bilangan pecahan pangkatnya bernilai negatif (-)

jadi penyelesaianya adalah :

0 x 0/0 = 0

0 x 1/1 =0

1 x 1/4=0,25

1 x 1/8= 0,125

0 x 1/16=0

1 x 1/32 = 0,03125

jadi bilangan desimal nya adalah 0,25 + 0,125 + 0,03125 = 0,40625

Komplement

pada bilangan biner kita mengenal first komplement dan second complement .

agar mengerti cara mencari first komplemen dan secon komplemen saya berikan contoh komplement 9 dan komplement 10 pada bilangan desimal

contoh

bilangan desimal 123 651 914

koplement 9 876 348 085

komplement 10 877 349 086 ditambah 1
komplement 9 di dapat dengan cara mengambah tiap digit bilangan desimal agar berjumlah 9 sementara komplement 10 di dapat menambahkan komplement 9 dengan 1.

karena bilangan biner terdiri dari 2 bit jadi jadi first dan secon kompelementya seperti ini .

bilangan biner 101 110 100

first complement 010 001 011

second complemet 010 010 100 di tambah 1
sama halnya dengan bilangan desimal karena bilangan biner berbasis 2 maka bilangan tersebesar adalah 1 jadi cara mencari first komplemen yaitu dengan menamambahkan 1 pada bilangan biner yang bernilai 0.

bilangan bulat bertanda positif atau negatif di presentasikan dengan :

1. sign / magnitud

2. 1's (first) komplememt

3. 2's (second) komplement
untuk bilangan bulat positif, tidak ada perbedaan dari presentasi diatas.namun, terdapat persamaan dari ketiga representasi tersebut yaitu pada menggunaan MSB (most significant bit) sebagai penanda. MSB bernilai 0 untuk bilangan postif dan bernilai 1 untuk bilangan negarif.

7	6	5	4	3	2	1	0

      7               6             5             4              3             2               1              0
MSB                                                                                               LSB

# Sign / Magnitude

Salah satu storage mapping yang dapat dilakukan terhadap integer adalah apa yang disebut bentuk sign-and-magnitude, yaitu digit untuk tanda integer positif atau negatif dan sebarisan digit untuk menyatakan magnitude/besarnya.

Contoh : -7 = -111 dan +7 = +111

Bagi kita mudah bekerja terhadap bilangan dalam bentuk sign-and-magnitude, namun apabila dilakukan penjumlahan dengan kedua operand berbeda tanda, penjumlahan akan beralih menjadi pengurangan yang kadang-kadang menimbulkan kesukaran. Untuk itu, digunakan apa yang disebut sebagai

complement (merubah tanda negatif pada bilangan pengurang menjadi tanda positif)

contoh : jika digunakan 5 bit dalam representasi bilangan

+3 = 00011

-3 = 10011

ada dua buah komplement yaitu :

# first complement

contoh : jika menggunakan 5 bit untuk representasi bilangan

+ 3 = 00011

-3 = 11100

#second complement

cara mencari second complement yaitu dengan menambahkan 1 pada first complement

second complement dari 11100 yaitu 11101

berikut ini tabel perbandingan ketiga cara representasi bilangan bulat bertanda.

/*-------------------------------TABEL ------------------------------------*/

B	Nilai yang di presentasikan
b3 b2 b1 b0	sign/magnitud	one's complement	second's complement
0111	+7	+7	+7
0110	+6	+6	+6
0101	+5	+5	+5
0100	+4	+4	+4
0011	+3	+3	+3
0010	+2	+2	+2
0001	+1	+1	+1
0000	+0	+0	+0
1000	-0	-7	-8
1001	-1	-6	-7
1010	-2	-5	-6
1011	-3	-4	-5
1100	-4	-3	-4
1101	-5	-2	-3
1110	-6	-1	-2
1111	-7	-0	-1

Representasi Bilangan Pecahan / point

Bilangan pecahan dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan biasa atau bentuk scientific

> Bentuk pecahan biasa,

dalam bentuk pecahan biasa, bilangan di representasiakan langsung ke dalam bentuk binernya

Contoh : 27.625 = 11011.101₂

_{> Bentuk SCIENTIFIC}

_{Contoh : 2.700.000 = 27 x 10}⁵ _{-----------> M = 57, B = 10, E = 5}

_{M = Mantisa}

_{B = Basis}

_{E = eksponen}

_{Masalah : terdapat tak terhingga banyaknay representasi yang dapat di buat dalam contoh sebelumnya ; 2.700.000 = 27 x 10}⁵ _{, 270 x 10}⁴ _{, 2,7 x 10}⁶ _{, 0,27 x 10}⁷ _{, 0,027 x 10}⁸ _{dsb, Untuk mengatasinya , dituntut adanya bentuk normal dengan syarat}

_{1/B =} |M|< 1

Dengan demikian, bentuk scientific yang normal dari 5.700.000 adalah 0,27 x 10⁷

Dalam bentuk normal tersebut , selalu di dapat mantisa berbentuk "0, ...."

sehingga dalam merepresentasiakn kedalam Bit data, fraksi "0" tersebut dapat di hilangkan.

mantisa dan eksponen tersebut dapat di representasikan ke dalam salah satu cara representasi bulangan bulat bertanda yang telah dibahas diatas. representasi yang dipilih dapat saja berbeda antara mantisa dengan eksponenya.

Contoh :

- digunakan untaian 16 Bit untuk representasi bilangan pecahan

- 10 Bit pertama yang digunakan untuk menyimpan mantissa dalam bentuk S / M

- 6 Bit sisanya digunakan untuk menyimpan mantissa dalam bentuk 1's complement .

Contoh representasi bilangan 0,000000075